С древних времен человечество старалось добиться победы в столкновении с противником на максимально возможной дистанции, чтобы не губить собственных воинов. Пращи, луки, арбалеты, потом ружья, теперь ракеты, снаряды и бомбы — все они нуждаются в точном расчете баллистической траектории. И если у старинной военной «техники» отследить точку попадания можно было визуально, что позволяло учиться и в следующий раз стрелять точнее, то в современном мире точка назначения обычно удалена настолько, что разглядеть ее без дополнительных приборов просто невозможно.
Что такое баллистическая траектория
Это путь, который преодолевает какой-либо объект. У него должна быть определенная начальная скорость. На него воздействует сопротивление воздуха и сила притяжения, что исключает возможность движения по прямой линии. Даже в космосе такая траектория будет искажаться под влиянием гравитации различных объектов, хоть и не так значительно, как на нашей планете. Если не учитывать сопротивление воздушных масс, то больше всего такой процесс перемещения будет напоминать эллипс.
Другой вариант – гипербола. И лишь в некоторых случаях это будет парабола или окружность (при достижении второй и первой космической скорости соответственно). В большинстве случаев такие расчеты проводятся для ракет. Они, как правило, летают в верхних слоях атмосферы, где влияние воздуха минимально. Как следствие, чаще всего баллистическая траектория все же напоминает именно эллипс. В зависимости от многих факторов, таких как скорость движения, масса, тип атмосферы, температура, вращение планеты и так далее, отдельные части пути могут принимать самые разнообразные формы.
Угол стрельбы для попадания по неподвижной мишени
Теперь начинается интересное.
Если снаряд имеет постоянную скорость (S), а гравитация равна (G), то под каким углом его нужно выстреливать, чтобы попасть в неподвижную мишень?
Бах. Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных. Давайте их проанализируем.
- Первое уравнение, два неизвестных (t, θ)
- Второе уравнение, два неизвестных (t, θ)
- Вычислить t из (1)
- Подставить (3) в (2)
- Тригонометрическая подстановка: sin θ/cosθ = tanθ
- Тригонометрическая подстановка: 1/(cos θ)^2 = 1 + (tan θ)^2
- Развернём и преобразуем
- Формула корней квадратного уравнения
- Умножим верхнюю/нижнюю часть на -S^2/x. Перенесём S^4/x^2 под корень
- Применим к каждой части арктангенс
Та-да! В результате мы получили два угла. Один высокий и один низкий. Вот как это выглядит на практике.
Расчет баллистической траектории
Для того чтобы понять, куда именно упадет выпущенное тело, применяют дифференциальные уравнения и метод численного интегрирования. Уравнение баллистической траектории зависит от многих переменных, но существует и некий универсальный вариант, который не дает нужной точности, но вполне достаточен для примера.
y=x-tgѲ0-gx2/2V02-Cos2Ѳ0, где:
- y – это максимальная высота над поверхностью земли.
- Х – дистанция от точки старта до момента, когда тело доберется до высшей точки.
- Ѳ0 – угол бросания.
- V0 – начальная скорость.
Благодаря указанной формуле появляется возможность описать баллистическую траекторию полета в безвоздушном пространстве. Получится она в форме параболы, что характерно для большинства вариантов свободного движения в подобных условиях и при наличии гравитации. Можно выделить следующие характерные особенности такой траектории:
- Самый оптимальный угол возвышения для максимальной дистанции – 45 градусов.
- Объект имеет одинаковую скорость движения как во время старта, так и в момент приземления.
- Угол броска идентичен углу, под которым произойдет падение.
- Объект долетает до вершины траектории за точно такое же время, за которое потом упадет вниз.
В подавляющем большинстве расчетов подобного рода принято пренебрегать сопротивлением воздушных масс и некоторых других факторов. Если их учитывать, то формула выйдет слишком уж сложной, а погрешность не так велика, чтобы значительно влиять на эффективность попадания.
Баллистика для чайников
От дула до цели: основные понятия, которые должен знать каждый стрелок.
Чтобы понять, как летит винтовочная пуля, университетский диплом по математике или физике не требуется. На этой утрированной иллюстрации видно, что пуля, всегда отклоняясь только вниз от направления выстрела, пересекает линию прицеливания в двух точках. Вторая из этих точек находится именно на том расстоянии, на которое пристреляна винтовка.
Один из самых успешных проектов последнего времени в книгоиздательстве – это серия книг с названиями «… для чайников». Каким бы знанием или умением вы ни пожелали овладеть, для вас всегда найдётся соответствующая «чайниковая» книжка, включая такие предметы, как воспитание толковых детей для чайников (честное слово!) и ароматотерапия для них же. Интересно, однако, что эти книги написаны совсем не для дураков и рассматривают предмет не на упрощённом уровне. В самом деле, одна из лучших причитанных мной книг о вине называлась «Вино для чайников».
Так что наверно никто не удивится, если я заявлю, что должна быть и «Баллистика для чайников». Надеюсь, что вы согласитесь принять этот заголовок с тем же чувством юмора, с каким я вам его предлагаю.
Что нужно знать о баллистике, – если о ней вообще что-то нужно знать, – чтобы стать более метким стрелком и добычливым охотником? Баллистика делится на три раздела: внутреннюю, внешнюю и терминальную.
Внутрення баллистика рассматривает то, что происходит внутри винтовки от момента воспламенения до выхода пули через дульный срез. По правде говоря, внутренняя баллистика касается только релодырей, это они собирают патрон и тем самым определяют его внутреннюю баллистику. Надо быть настоящим чайником, чтобы начать собирать патроны, не получив заранее элементарных представлений о внутренней баллистике, хотя бы потому, что от этого зависит ваша безопасность. Если же и на стрельбище, и на охоте вы стреляете только заводскими патронами, то вам на самом деле не нужно ничего знать о том, что происходит в канале ствола: всё равно повлиять на эти процессы вы никак не можете. Не поймите меня неправильно, я никого не отговариваю от углублённого изучения внутренней баллистики. Просто в таком контексте она не имеет практического значения.
Что до терминальной баллистики, то да, здесь у нас имеется некоторая свобода, но не более чем в выборе пули, снаряженной в самодельном или заводском патроне. Терминальная баллистика начинается в тот момент, когда пуля проникает в цель. Это наука настолько же качественная, насколько и количественная, потому что факторов, определяющих убойность, великое множество, и не все из них можно точно моделировать в лаборатории.
Остаётся внешняя баллистика. Это просто красивый термин, которым обозначают то, что происходит с пулей от дульного среза до цели. Мы будем рассматривать этот предмет на элементарном уровне, тонкостей я и сам не знаю. Я должен вам признаться, что математику в колледже сдал с третьего захода, а физику вообще завалил, так что поверьте, то, о чём я буду рассказывать, несложно.
Чтобы понять, что происходит с пулей от дула до цели, по крайней мере настолько, насколько это нужно нам, охотникам, надо усвоить некоторые определения и базовые понятия, просто чтобы расставить всё по местам.
Определения
У этих 154-грановых (10г) 7-миллиметровых пуль поперечная плотность одинаковая и равна 0,273, но у левой, с плоским торцом, БК равен 0,433, в то время как у SST справа он составляет 0,530.
Линия прицеливания (ЛП)
– прямая от глаза стрелка через прицельную марку (или через целик и мушку) до бесконечности.
Линия бросания (ЛБ)
– ещё одна прямая, направление оси канала ствола в момент выстрела.
Траектория
– линия, по которой движется пуля.
Падение
– снижение траектории пули относительно линии бросания.
Все мы слышали, как кто-нибудь рассказывал, что некая винтовка стреляет так настильно, что пуля просто не падает на первых ста ярдах (91,4 м). Чушь. Даже у самых настильных супермагнумов с самого момента вылета пуля начинает падать и отклоняться от линии бросания. Обычно недопонимание происходит от употребления слова «подъём» в баллистических таблицах. Пуля всегда падает, но она и поднимается относительно линии прицеливания. Эта кажущаяся несуразность происходит оттого, что прицел располагается над стволом, и поэтому единственный способ пересечь линию прицеливания с траекторией пули – это наклонить прицел вниз. Другими словами, если бы линия бросания и линия прицеливания были бы параллельны, пуля вылетала бы из дула на полтора дюйма (38мм) ниже линии прицеливания и начинала бы падать всё ниже и ниже.
Путаницы добавляет и тот факт, что когда прицел установлен так, чтобы линия прицеливания пересекалась с траекторией на какой-нибудь разумной дистанции – на 100, 200 или 300 ярдов (91,5, 183, 274 м), пуля пересечёт линию прицеливания ещё до этого. Стреляем ли мы из .45-70, пристрелянного в ноль на 100 ярдов, или из 7 mm Ultra Mag, пристрелянного на 300, первое пересечение траектории и линии прицеливания произойдёт между 20 и 40 ярдами от дульного среза.
В случае .45-70 мы увидим, что, чтобы попасть в цель на 100 (91,4 м) ярдах, наша пуля пересечёт линию прицеливания примерно в 20 ярдах (18,3 м) от дульного среза. Далее пуля будет подниматься над линией прицеливания до наивысшей точки в районе 55 ярдов (50,3 м) – примерно на два с половиной дюйма (64 мм). В этой точке пуля начинает снижаться относительно линии прицеливания, так что эти две линии опять пересекутся на желаемой дистанции в 100 ярдов.
Для 7 mm Ultra Mag, пристрелянного на 300 ярдов (274 м), первое пересечение произойдёт около 40 ярдов (37 м). Между этой точкой и отметкой в 300 ярдов наша траектория достигнет максимальной высоты в три с половиной дюйма (89 мм) над линией прицеливания. Таким образом, траектория пересекает линию прицеливания в двух точках, вторая из которых и есть дистанция пристрелки.
Траектория на половине пути
Обе эти 300-грановые пули калибра .375 имеют одинаковую поперечную плотность 0,305, но левая, с острым носом и «лодочной кормой», имеет БК 0,493, в то время как круглоносая только 0,250.
А сейчас я коснусь одного малоупотребительного в наши дни понятия, хотя в те годы, когда молодым шалопаем я начинал осваивать стрельбу из винтовки, траектория на половине пути была критерием, по которому баллистические таблицы сравнивали эффективность патронов. Траектория на половине пути (ТПП) – это максимальная высота подъёма пули над линией прицеливания при условии, что оружие пристреляно в ноль на заданное расстояние. Обычно баллистические таблицы приводили это значение для 100-, 200- и 300-ярдовой дистанции. Например, ТПП для 150-грановой (9,7 г) пули в патроне 7 mm Remington Mag по ремингтоновскому каталогу 1964 года составляла полдюйма (13 мм) на 100 ярдах (91,5 м), 1,8 дюйма (46 мм) на 200 ярдах (183 м) и 4,7 дюйма (120 мм) на 300 ярдах (274 м). Это означало, что если мы пристреляем наш 7 Mag в ноль на 100 ярдов, то траектория на 50 ярдах поднимется над линией прицеливания на полдюйма. При пристрелке на 200 ярдов на отметке 100 ярдов она поднимется на 1,8 дюйма, а при пристрелке на 300 ярдов мы получим подъём в 4,7 дюйма на дистанции 150 ярдов. На самом деле максимальная ордината достигается несколько дальше середины дистанции пристрелки – около 55, 110 и 165 ярдов соответственно, — но на практике разница несущественная.
Хотя ТПП была полезной информацией и хорошим способом сравнить разные патроны и заряды, современная система приведения для одной и той же дистанции пристрелки высоты или снижения пули в разных точках траектории более содержательна.
Поперечная плотность, баллистический коэффициент
Эта четвёрка семимиллиметровых пуль демонстрирует последовательные степени обтекаемости. Круглоносая пуля слева имеет баллистический коэффициент 0,273, пуля справа, Hornady A-Max, — 0,623, т.е. в два с лишним раза больше.
После вылета из ствола траектория полёта пули определяется её скоростью, формой и весом. Это приводит нас к двум звучным терминам: к поперечной плотности и баллистическому коэффициенту. Поперечная плотность – это вес пули в фунтах, делённый на квадрат её диаметра в дюймах. Но забудьте об этом, это просто способ связать вес пули с её калибром. Возьмите, например, 100-грановую (6,5 г) пулю: в семимиллиметровом калибре (.284) это довольно лёгкая пуля, но в шестимиллиметровом (.243) – довольно тяжёлая. А в значениях поперечной плотности это выглядит так: 100-грановая пуля семимиллиметрового калибра имеет поперечную плотность 0,177, а шестимиллиметровая пуля того же веса будет иметь поперечную плотность 0,242.
Пожалуй, лучшее понимание того, что считать лёгким, а что тяжёлым, может быть получено из сравнения пуль одного и того же калибра. В то время как самая лёгкая семимиллиметровая пуля имеет поперечную плотность в 0,177, самая тяжёлая – 175-грановая(11,3 г) – 0,310. А самая лёгкая, 55-грановая (3,6 г), шестимиллиметровая пуля имеет поперечную плотность 0,133.
Поскольку поперечная плотность связана только с весом, а не с формой пули, получается, что самые тупоносые пули имеют ту же поперечную плотность, что и самые обтекаемые того же веса и калибра. Баллистический коэффициент – совсем другое дело, это мера того, насколько пуля обтекаема, то есть насколько эффективно она преодолевает сопротивление в полёте. Вычисление баллистического коэффициента не вполне определено, существует несколько методик, часто дающих несовпадающие результаты. Добавляет неопределённости и то, что БК зависит от скорости и высоты над уровнем моря.
Если вы не математический маньяк, одержимый вычислениями ради вычислений, то я предлагаю просто делать, как все: использовать значение, предоставляемое производителем пули. Все производители пуль для самостоятельного снаряжения патронов публикуют значения поперечной плотности и баллистического коэффициента для каждой пули. А вот для пуль, используемых в заводских патронах, это делают только Remington и Hornady. Между тем, это полезная информация, и я думаю, что всем производителям патронов следовало бы сообщать её как в баллистических таблицах, так и прямо на коробках. Почему? Потому что если у вас на компьютере стоят баллистические программы, то всё, что вам нужно, это ввести дульную скорость, вес пули и её баллистический коэффициент, и вы сможете нарисовать траекторию для любой дистанции пристрелки.
Опытный релодырь может с приличной точностью на глаз оценить баллистический коэффициент любой винтовочной пули. Например, ни одна круглоносая пуля, от 6мм до .458 (11,6 мм), не имеет баллистического коэффициента больше 0,300. От 0,300 до 0,400 – это лёгкие (с малой поперечной плотностью) охотничьи пули, остроносые или с углублением в носовой части. Более 0,400 – умеренно тяжёлые для данного калибра пули с чрезвычайно обтекаемой формой носа.
Если БК охотничьей пули близок к 0,500, это означает, что в этой пуле соединились близкая к оптимальной поперечная плотность и обтекаемая форма, как, например, в 7 мм 162-грановой (10,5 г) SST от Hornady с БК 0,550 или 180-грановой (11,7 г) XBT от Barnes в тридцатом калибре с БК 0,552. Такой чрезвычайно высокий БК типичен для пуль с округлой хвостовой частью («лодочной кормой») и поликарбонатным носиком, как у SST. Barnes, однако, достигает такого же результата за счёт очень обтекаемой оживальной части и чрезвычайно малой фронтальной поверхности носика.
Кстати, оживальная часть – это часть пули спереди от ведущей цилиндрической поверхности, попросту то, что образует нос нули. Если посмотреть на пулю сбоку, то оживальная часть образована дугами или кривыми линиями, но Hornady применяет оживальную часть из сходящихся прямых, то есть коническую.
Если положить рядом плосконосую, круглоносую и остроносую пули, то здравый смысл подскажет, что остроносая более обтекаема, чем круглоносая, а круглоносая в свою очередь более обтекаема, чем плосконосая. Отсюда следует, что при прочих равных условиях на заданной дистанции остроносая снизится меньше, чем круглоносая, а круглоносая – меньше, чем плосконосая. Добавьте «лодочную корму», и пуля станет ещё более аэродинамичной.
Возьмём в качестве примера 180-грановую (11,7 г) X-Bullet компании Barnes тридцатого калибра, выпускаемую как с плоским торцом, так и с «лодочной кормой». Профиль носовой части у этих пуль одинаков, так что разница в баллистических коэффициентах обусловлена исключительно формой торца. У пули с плоским торцом БК составит 0,511, в то время как лодочная корма даст БК 0,552. В процентном отношении, можно подумать, что такая разница существенна, но на самом деле на пятистах ярдах (457 м) пуля с «лодочной кормой» снизится всего на 0,9 дюйма (23 мм) меньше, чем пуля с плоским торцом, при прочих равных условиях.
Дистанция прямого выстрела
С точки зрения аэродинамики форма может быть хорошей, как у 120-грановой (7,8 г) семимиллиметровой пули слева, но из-за низкой поперечной плотности (то есть веса для этого калибра) она будет терять скорость гораздо быстрее. Если 175-грановую (11,3 г) пулю (справа) выпустить со скоростью на 500 футов в секунду (152 м/с) меньше, то она догонит 120-грановую на отметке 500 ярдов (457 м).
Другой способ оценки траекторий – это определение дистанции прямого выстрела (ДПВ). Так же, как и траектория на половине пути, дистанция прямого выстрела никак не влияет на действительную траекторию пули, это просто ещё один критерий для пристрелки винтовки, исходя из её траектории. Для дичи размером с оленя дистанция прямого выстрела основывается на требовании, чтобы пуля попала в убойную зону диаметром 10 дюймов (25,4см) при прицеливании в её центр без компенсации падения.
По сути дела, это как если бы мы взяли совершенно прямую воображаемую трубу диаметром 10 дюймов и наложили бы её на заданную траекторию. При дульном срезе в центре трубы на одном её конце дистанция прямого выстрела – это тот максимальный отрезок, на котором пуля будет лететь внутри этой воображаемой трубы. Естественно, на начальном участке траектория должна быть направлена несколько вверх, так чтобы в точке наивысшего подъёма пуля лишь коснулась верхней части трубы. При таком прицеливании ДПВ – это то расстояние, на котором пуля пройдёт через дно трубы.
Рассмотрим пулю 30 калибра, вылетающую из 300-го магнума на скорости 3100 футов в секунду (945 м/с). По сьерровскому мануалу, пристреляв винтовку в ноль на 315 ярдов (288 м), мы получим дистанцию прямого выстрела в 375 ярдов (343 м). Той же самой пулей, выпущенной из винтовки калибра .30-06 на скорости 2800 футов в секунду, при пристрелке на 285 ярдов (261 м) мы получим ДПВ в 340 ярдов (311 м) – не такая уж большая разница, как могло бы показаться, правда?
Большинство баллистических программ рассчитывают дистанцию прямого выстрела, вам следует только ввести вес пули, БК, скорость и размер убойной зоны. Естественно, вы можете ввести четырёхдюймовую (10 см) убойную зону, если охотитесь на сурков, и восемнадцатидюймовую (46 см), если охотитесь на лося. Но лично я никогда не использовал ДПВ, я считаю это стрельбой спустя рукава. Тем более теперь, когда у нас есть лазерные дальномеры, рекомендовать такой подход не имеет никакого смысла.
Джон Р. Сандра
Отличия от настильной
Под таким названием понимают другой вариант пути объекта. Настильная и баллистическая траектория – это несколько разные понятия, хотя общий принцип у них одинаков. Фактически такой вид движения подразумевает максимально возможное перемещение в горизонтальной плоскости. И на всем протяжении пути объект сохраняет достаточное ускорение. Баллистический вариант движения необходим для перемещения на большие дистанции. Например, настильная траектория наиболее важна для пули. Она должна лететь достаточно прямо максимально долго и пробивать все, что попадется у нее на пути. С другой стороны, ракета или снаряд из пушки наносят максимум разрушений именно в конце движения, так как набирают максимально возможную скорость. В промежутке своего движения они не столь сокрушительны.
Уравнения движения
Задача всегда начинается одинаково. У нас есть стреляющий и цель: под каким углом нужно стрелять снарядом, чтобы он поразил цель?
Существует четыре основных уравнения движения. В статье мы воспользуемся только одним.
Если объяснять на словах, то конечная позиция РАВНА исходной позиции ПЛЮС скорость, умноженная на время ПЛЮС половина ускорения, умноженная на время в квадрате. Это простое уравнение, для его решения необходимо немного алгебры и несколько тригонометрических тождеств.
Использование в современности
Баллистическая траектория чаще всего применяется в военной сфере. Ракеты, снаряды, пули и так далее — все они летают далеко, и для точного выстрела нужно учитывать множество переменных. Кроме того, космическая программа также основана на баллистике. Без нее точно запустить ракету так, чтобы она в конечном итоге не упала на землю, а совершила несколько витков вокруг планеты (или вообще оторвалась от нее и отправилась дальше в космос), невозможно. В целом практически все, что умеет летать (вне зависимости от того, каким способом это делает), так или иначе связано с баллистической траекторией.
Дальность
При разработке видеоигр нам, вероятно, нужно будет знать максимальную дальность полёта снаряда. Искусственный интеллект должен понимать, насколько близко нужно подойти, а игрокам нужны чёткие наглядные индикаторы опасных зон.
Существует очень простое уравнение максимальной дальности на плоской поверхности. Мы сразу же ринемся в омут с головой и начнём с обобщённого вида.
Если дан снаряд с постоянной скоростью (S) и гравитацией (G), то какой будет его максимальная дальность полёта?
- Подставим известные нам переменные (y0, S, G) в основное уравнение движения.
- Применим формулу корней квадратного уравнения. Отбросим меньшее значение.
- Подставим t в x = S*cos θ*t и упростим.
Баллистические ракеты межконтинентальные
Такие ракеты перемещаются по особой баллистической траектории. Сначала они движутся вертикально вверх. Так происходит на протяжении небольшого промежутка времени. Далее система управления разворачивает объект в сторону цели.
Конструкцию МБР имеют многоступенчатую. Благодаря этому, такая ракета может долететь даже до мишени, расположенной в другом полушарии Земли. После выгорания топлива использованная ступень МБР отделяется, и в ту же секунду подключается следующая. При достижении определенных высоты и скорости ракета этой разновидности устремляется к земле, к намеченной цели.
Визуальное несовершенство
Взгляните на показанный выше gif. Когда чайник начинает стрелять, всё выглядит довольно неплохо. Высокая дуга красива и радует глаз. Низкая дуга кажется чёткой и эффективной.
Однако при увеличении дальности всё становится не таким красивым. Низкая дуга почти плоская. Высокая дуга чрезмерно высока. В этом и заключается проблема снаряда с постоянной скоростью. Он выглядит красиво, только когда цель находится на границах его радиуса дальности.
Существует ли способ получше?
Постоянная скорость с подвижной мишенью
А что если нам нужно поразить подвижную мишень снарядом с постоянной скоростью? Ой-ёй. Это очень запутанная задача! Даже не знаю, как к ней подступиться.
За всю мою карьеру мне не доводилось её решать. Обычно в играх не нужна точная артиллерия. Это просто неинтересно! Вместо этого мы приблизительно вычисляем будущую позицию и целимся в случайную точку рядом с ней. Игроки воспринимают артиллерийский огонь как дождь из глупых снарядов, а не как гарантированную смерть с лазерным наведением.
В процессе написания этого поста я нашёл решение задачи снаряда с постоянной скоростью и движущейся мишени, которого не было в Интернете в готовом виде. Стоит заметить, что вам, вероятно, не понадобится реализовывать его в своей игре. Но я потратил на него много времени, поэтому не хочу, чтобы оно было потеряно впустую!
Уравнения четвёртой степени
Скорее всего, вы не захотите использовать его в своей игре именно из-за уравнений четвёртой степени. По сути, для решения требуется одно из таких уравнений.
Квадратные уравнения имеют простое и изящное решение в виде формулы корней квадратного уравнения. Кубические уравнения решаемы несколькими разными способами. Однако уравнения четвёртой степени — это настоящая головная боль.
Решение таких уравнений находится далеко за рамками этой статьи. Честно говоря, и за пределами моих математических способностей. К счастью для нас, в книге 1990 года Graphics Gems I есть код для решения уравнений четвёртого порядка. Я использовал этот код для своего демо. Не могу гарантировать его точности и численной устойчивости, используйте его крайне осмотрительно.
Способ первый
Итак, давайте его решим. Каким должен быть угол выстрела снарядом с постоянной скоростью по движущейся мишени? Этот способ взят из поста 2007 года Джеймса Макнейлла и дополнен информацией Райана Джакетта.
- Где P — позиция мишени, а V — скорость мишени
- Возводим обе части в квадрат
- Преобразуем
- Вычисляем коэффициенты уравнения четвёртого порядка и вставляем в SolveQuartic
- Используем t для вычисления позиции мишени при вычислении траектории до неподвижной точки.
Способ работает. Все сложные задачи выполняет SolveQuartic. Затем мы используем решение для неподвижной мишени, изложенное выше.
Способ второй
Прежде чем я нашёл первый способ, я вывел решение другим способом. Оно состоит из гораздо большего количества шагов. Однако я нахожу конечный результат более изящным. Плюс я потратил примерно восемь листов бумаги и не хочу, чтобы эти деревья пожертвовали собой зазря.
Чёрт возьми. 32 шага!? Это хуже, чем кажется.
1–7
— объявляем переменные.
8–11
— объявляем систему уравнений. Четыре уравнения, четыре неизвестных — d, e, f, t.
12–15
— вычисляем по (8) величину d. Перемножаем d^2 на будущее.
16–19
— вычисляем по (10) величину f. Перемножаем f^2 на будущее.
20–24
— вычисляем по (9) величину e. Перемножаем e^2 на будущее.
25–27
— вычисляем по (11) величину e^2. Подставляем d^2 и f^2.
28–30
— приравниваем (27) к (24). Умножаем на t^2 и преобразуем в уравнение четвёртой степени.
31
— подставляем коэффициенты в SolveQuartic.
32
— подставляем положительные вещественные корни в (14), (18), (23) для d, e, f.
Код довольно короткий. Объявлению переменных отведено больше строк, чем самим вычислениям! Разумеется, кроме SolveQuartic.
Инструменты
При создании этого поста я использовал несколько инструментов. Многие из них были для меня новыми.
- Unity для создания демо.
- Paper, Affinity Designer и MSPaint для создания изображений.
- Arachnid Latex + MathJax для формул LaTeX.
- FFmpeg для преобразования последовательности скриншотов в анимацию.
- Gfycat для встраивания анимаций.
- Чайник из Юты. Пиу-пиу!
Синтаксис LaTeX ужасен, его сложно учить. Все формулы LaTeX можно найти здесь. Вот пример:
Содержание
- 1 Формулы 1.1 Общие
- 1.2 Баллистика
- 1.3 Коммерческое использование
- 2.1 Предпосылки
- 3.1 Неустойчивый характер баллистических коэффициентов пули
Ссылки [ править ]
- Кортни, Майкл; Кортни, Эми (2007). «Правда о баллистических коэффициентах». arXiv : 0705.0389 [ Physics.pop -ph ].
- «Последние тенденции в области устойчивого развития и стратегии управления» ав д-р VS Gajavelli, д-р Kapil Chaturvedi, д-р Abhishek Narain Singh
- Мосс, Лиминг и Фаррар (1995). Серия Land Warfare Брасси: военная баллистика
. Королевский военный колледж науки, Шривенхэм, Великобритания. п. 86. ISBN 978-1857530841. - Клайн, Донна (2002). Объяснение внешней баллистики, траектории, часть 3 «АААБергер Буллетс»; p161, ISBN 978-0-615-63762-4
- Онлайн-калькулятор траектории JBM Ballistics
- JBM Баллистический онлайн-калькулятор траектории
- Внешняя баллистика и баллистические коэффициенты
- ↑
Лучший баллистический коэффициент, автор: Брайан Литц, Ballistician Berger Bullets. Архивировано 2 августа 2009 г. в Wayback Machine. - Основы баллистического коэффициента
- «Технические характеристики пуль Berger» . Архивировано из оригинала на 2016-03-06 . Проверено 1 января 2013 .
- Lapua пули техническая информация Архивировано 2012-02-17 в Wayback Machine
- Техническая информация Nosler AccuBond Longe Range
- Форм-факторы: полезный инструмент анализа Брайана Литца, главного баллистика Berger Bullets
- Брошюра по продукту .338 Lapua Magnum. Архивировано 27 сентября 2011 г. на Wayback Machine.
- Пули класса LM, пули с очень высоким BC для дальних ветров. Архивировано 19 февраля 2008 года в Wayback Machine.
- Макдональд, Уильям и Олгрен, Тед. Руководство по загрузке Sierra, 5-е изд., Раздел 2.5. Примеры измерения баллистических коэффициентов, 2003.
- Литц, Брайан. Прикладная баллистика для стрельбы на большие дистанции. Сидар-Спрингс, Мичиган: Applied Ballistics, LLC, 2009a, 2-е издание, 2011 г.
- Эмили Боненкамп, Брэдфорд Хаккерт, Морис Мотли и Майкл Кортни, Сравнение рекламируемых баллистических коэффициентов с независимыми измерениями, DTIC, 2012. https://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA554683
- Алекс Халлоран, Колтон Хантсман, Чад Демерс и Майкл Кортни, Более неточные спецификации баллистических коэффициентов, DTIC, 2012. https://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA555975
- ↑
Кортни, Эля, Коллин Моррис и Майкл Кортни. «Точные измерения коэффициентов лобового сопротивления в свободном полете с помощью любительского доплеровского радара». Библиотека Корнельского университета (2016). arXiv : 1608.06500
